Глава III Многогранники. Дополнительные задачи → номер 311 311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС= 13 см, АВ = 15 см, СВ= 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости грани ВDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.
А) ΔDAC и ΔDAB— прямоугольные.
Проведем высоту АН в ΔАВС. Тогда DH — высота ΔBDC по теореме о трех перпендикулярах.
Найдем АН: Пусть ВН = х.
Б) Предположим, что основание перпендикуляра AA1 не попадает на прямую DH. Тогда ВС ⊥ DA1A и BC⊥ADH, т. к. ВС⊥DА и BC⊥AA1 в первом случае и ВС⊥DH во втором. Но тогда через AD проходят две плоскости, перпендикулярные к ВС. Это невозможно, поэтому А1 лежит на DH.
Рассмотрим ΔDAH: DА = 9см, АН= 12см, DH= 15 см
