471. Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°

Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 471

Пусть дан куб ABCDА1B1C1D1, А1С — диагональ куба; DB — диагональ грани куба.

Введем прямоугольную систему координат. С началом координат в т. D и осями, направленными вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Обозначим сторону куба через а.

Тогда

Следовательно,

Соответственно угол между прямыми

A1C и DB равен 90°.