481. Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол φ

Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 481

а) Пусть а — ось симметрии, l || α. Из точки L ∈ l проведем LA⊥a; продолжим LA за точку А на расстояние АМ=LA.

Из точки L1∈ l проведем L1A1⊥a продолжим L1A1 за точку А1 на расстояние А1М1=L1A1.

Параллельные прямые a и l лежат в одной плоскости, тогда, четырехугольник LMM1L1 — плоский четырехугольник.

ML=M1L1 — по построению, ML⊥ l, M1L1 ⊥ l, следовательно, ML||M1L1 поэтому четырехугольник LMM1L1 — прямоугольник. Т. е.,

MM1||L1L, или l ||m.

Б) Если a не параллельна l, то a пересекается с L в некоторой точке А.

Выберем некоторую точку N ∈ l, построим NE⊥a, продолжим отрезок NE за точку Е на расстояние EF=NE. Через точку F проведем прямую FA (m).

В треугольниках ΔAEF и ΔAЕN. NE=EF, АЕ — общий катет, таким образом, ΔAEF=ΔAEN, следовательно, ∠EAN=∠EAF=φ.

Таким образом, прямая m образует угол φ с осью симметрии.