Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 637
а) В основаниях призмы лежат равносторонние треугольники. Пусть А и В — центры оснований.
Все точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенному через точку В к верхнему основанию призмы равноудалены от вершин треугольника PQR.
Все точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенному через т. А, к верхнему основанию призмы, равноудалены от вершин ΔP1Q1R1. Т. к. призма правильная, то треугольники P1Q1R и PQR проектируются один на другой, следовательно, точка В проектируется в точку А и обратно. Поэтому, АВ ⊥ плоскости PQR. Тогда, отрезок АВ является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин каждого из треугольников. А его середина — точка О — равноудалена от вершин ΔP1Q1R1 и от вершин ΔPQR на расстояние R, равное радиусу описанной около призмы сферы.
Б) Построим из вершины D пирамиды высоту DH ⊥ плоскости АВС. Проведем отрезки НА, НВ, НС.
ΔDHA=ΔDHB=ΔDHC (они прямоугольные, DH — общий катет, АD=BD=BC — по условию).
НА=НВ=НС=r. r — радиус описанной около ΔАВС окружности.
Проведем отрезок ОG ⊥ плоскости ABC (точка G на рисунке не показана). Проведем отрезки GA, GB, GC, ОА, ОВ, ОС, ΔDCA=ΔOGB=ΔOGC (катет ОG — общий, ОА=ОВ=ОС —R, R — радиус сферы). Значит, GA=GB=GC=r, r — радиус окружности, описанной около AАВС. Следовательно, вокруг ΔАВС можно описать единственную окружность.
Точки Н и G совпадают, и точки D, H, O лежат на одной прямой. Следовательно, центр сферы О лежит на высоте пирамиды DH или на продолжении за точку Н, что и показано на рисунке.