Дано:
Найти все значение параметра a, при которых уравнение
8*a*x^3-12*(a+3)*x^2+6*(a+6)*x+3*(a-3)=0
имеет 3 различных корня.
Решение
Чтобы данное уравнение имело 3 различных корня, её график должен 3 раза пересечь ось x, а для этого необходимо, чтобы:
1)функция f(x)=8*a*x^3-12*(a+3)*x^2+6*(a+6)*x+3*(a-3) имела 2 экстремума;
2)значения функции f(x) в точках экстремума имели разные знаки.
1-ое условие будет удовлетворено, если уравнение:
f’(x)=6*(4*a*x^2-4*(a+3)*x+(a+6))=0 (2)
имеет 2 корня, а значит его дискриминант:
D=16*(a+3)^2-4*4*a*(a+6)>0 =>
=> 12^2>0 — верно при любом a.
Отсюда экстремумы f(x):
x1=1/2; x2=1/2*(1+6/a)
(значение a=0 не входит в решение, так как при этом (2) превращается в линейное и имеет только 1 корень)
Подставляя эти значения в f(x), найдем
y1=4*a; y2=4*(a^3-27)/a^2
Эти 2 величины должны быть разных знаков.
Пусть a<0, тогда 4*(a^3-27)/a^2<0 при любом a. То есть этот случай не входит в решение. Пусть a>0, тогда требуется:
4*(a^3-27)/a^2>0 => a^3-27<0 => a<3
Таким образом, 0<3 – это и есть ответ задачи.