Дано:
Объектив состоит из двух собирающих линз с фокусными расстояниями f1=5 см и f2=15 см. Линзы расположены на расстоянии L = 10 см друг от друга. Определите положение главных фокусов объектива.
Решение
Пусть предмет (оригинал) находится на расстоянии d1>f1 (слева) от 1-ой линзы. Тогда линза образует действительное изображение на расстоянии s1, которое найдется из формулы линзы:
1/d1+1/s1=1/f1 => 1/s1=1/f1-1/d1 => s1=1/(1/f1-1/d1) (0)
Это изображение становится как бы оригиналом для 2-ой линзы. Значит, расстояние от этого оригинала до линзы-2:
d2=L-s1= L-1/(1/f1-1/d1) (1)
Подставив это значение в формулу для 2-ой линзы:
1/d2+1/s2=1/f2 => 1/s2=1/f2-1/d2
найдем расстояние до изображения-2 от 2-ой линзы:
s2=1/(1/f2-1/d2) = 1/(1/f2-1/(L-1/(1/f1-1/d1))) (2)
Найти фокусное расстояние для системы линз – это значит заменить её одной линзой, которая даст изображение того же оригинала в том же месте. Но чтобы определить фокусное расстояние для такой линзы, нужно знать, где она расположена. А что если преобразовать уравнение линзы так, чтобы параметрами линзы стали другие величины? Которые для системы линз уже известны. Таким параметром является, во–первых, расстояние между оригиналом изображением. Оно для системы линз равно:
R=d1+L+f2 (3)
2-ым таким параметром является увеличение. Для системы линз оно равно:
k=h2/h=h2/h1*h1/h=k2*k1 (4)
(где h, h1, h2 – соответственно высота оригинала, 1-го и 2-го изображения, а k1, k2, k – соответственно увеличения 1-ой линзы, 2-ой и системы линз)
Так как k=s/d => s=k*d (5), то
R=d+s=d*(1+k) => d=R/(1+k) (6)
Подставляя (5) в уравнение линзы, получим:
1/d*(1+1/k)=1/f (7)
А учтя (6):
(1+k)*(1+1/k)/R=1/F => F= R/(2+2/k) => F= R/2/(1+1/k) (8)
Учитывая, что для 1-ой и 2-ой линз:
k1=s1/d1; k2=s2/d2
И используя соотношения (0),(1),(2) по уравнениям (3) и (4), найдем R и k для системы линз (=объектива). Подставив эти значения в (8), найдем искомое фокусное расстояние F объектива. Наконец, используя (6), найдем d для объектива.
После чего расстояния главных фокусов объектива (от оригинала) отыщем по формулам:
Fr1=d-F; Fr2=d+F