Дано
Два шарика массой 2m и m соединены невесомой пружиной жесткостью k и длинной l и лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе (см. рис.) Третий шарик массой движется со скоростью v0 по линии, соединяющей центры первых двух, и упруго соударяется с шариком массой 2m. Пренебрегая временем соударения шариков по сравнению с временем деформации пружины. определите максимальное расстояние между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении.
Решение
Движение шариков в задаче состоит из 2-х фаз: в 1-ой фазе левый шарик сталкивается со средним и сообщает системе из среднего и правого шарика кинетическую энергию, во 2-ой – указанная система движется самостоятельно (и в ней, из-за наличия также упругости, возникают колебания).
Так как по условию задачи время соударения шариков мало по сравнению с временем деформации пружины, то можно пренебречь деформацией пружины в течение 1-ой фазы. Поэтому для неё закон сохранения импульса запишется так:
m*v0=m*v1+2*m*v2+m*v3, (1)
Где v1, v2, v3 – соответственно скорости левого, среднего и правого шариков сразу после соударения (окончания 1-ой фазы). При этом положительное направление оси x совпадает с направлением скорости v0.
По закону сохранения энергии для этого же события:
m*v0^2/2=m*v1^2/2+2*m*v2^2/2+m*v3^2/2 (2)
Поскольку пружина еще не начала деформироваться, то v3=0 (ведь движение шарику3 передается только через пружину). Стало быть, система уравнений {(1),(2)} существенно упрощается. Решая её, найдем:
v1=-v0/3; v2=2/3*v0 (3)
Примечание:
система {(1),(2)} имеет еще одно решение (v1=v0, v2=0), но его мы отбросим как не имеющее физического смысла. Ведь в нём получается, что шарик1 пролетает сквозь шарик2, даже не «замечая» его.
Рассмотрим теперь движение шариков 2 и 3 во 2-ой фазе. Для неё уравнение закона сохранения энергии запишется так:
2*m*v2^2/2=2*m*v2’^2/2+m*v3’^2/2+k*l^2/2 (4)
где слева – полная механическая энергия системы шарик2+шарик3+пружина сразу после столкновения с неё шарика1, а справа – энергия этой системы в некоторой ситуации в течение 2-ой фазы (l- деформация пружины). Пусть эта ситуация – искомая, то есть такая, когда расстояние (L+l) между шариками (=длина пружины) максимально. Следовательно, в этой ситуации и деформация пружины l=lmax.
Так как
l=int(v3’-v2’,t), (5)
(так как скорость v3’ увеличивает длину пружины, а v2’ – уменьшает. Интеграл берется от момента окончания 1-ой фазы.)
При l=lmax:
dl/dt=0 => (с учетом (5)) => v3’-v2’=0 => v3’=v2’, (5а)
что существенно упрощает уравнение (4):
2*m*v2^2/2=2*m*v2’^2/2+m*v2’^2/2+k*l^2/2 => 2*m*v2^2/2=3*m*v2’^2/2+k*lmax^2/2 (6)
Поскольку во 2-ой фазе шарик2 и шарик3 взаимодействуют только между собой (а пружина массы не имеет), то выполняется и закон сохранения импульса:
2*m*v2=2*m*v2’+m*v3’ => (с учетом (3а)) => 2*m*v2=3*m*v2’
откуда скорость
v2’=2/3*v2 => (с учетом (5а)) => v2’=4/9*v2
Подставив этот результат в (6) и решив(6), найдем lmax, а затем — и искомую длину пружины: Lmax=L+lmax