Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 108 108*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Отложим от т. D на ребрах DA, DB, DC равные отрезки: DA’ = DB’ = =DC’ = a. Соединим точки A’, B’ и C’ отрезками. Нарисуем ограниченную этими отрезками часть тетраэдра, для удобства «положив» его на одну из боковых граней.
Проведем биссектрисы двух углов при вершине D: DE и DF; проведем отрезки C’E и A’F.
В ΔA’DB’ DA’ = DB’ и DE является медианой, следовательно, EA’ = BE (т. к. A A’DB’ равнобедренный).
Поэтому
Следовательно,
В ΔA’B’C’ отрезки C’E и A’F являются медианами.
Чтобы на загромождать рисунок, не показана биссектриса ∠A’DC’. Если для нее повторить рассуждения, то убедимся, что отрезок, исходящий из B’ в точку, где биссектриса пересечет сторону A’C’, будет третьей медианой в ΔAB’C’. А три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Таким образом, плоскости DEC’, DFA’ и третья, не показанная на рисунке, пересекаются на рисунке по прямой DO.
Уберем ограничение, что DA’ = DB’ = DC’. Факт, что плоскости пересекаются по прямой DO, останется верным.
Равные отрезки от вершины D можно отложить в любом тетраэдре, поэтому на строгость (или общность) доказательства это повлиять не может.
Раз указанные плоскости пересекаются по прямой DО, то эта прямая пересечется с плоскостью основания в некоторой точке, значит, все три отрезка АА1, СС1 и ВВ1 проходят через нее.
Что и требовалось доказать.