477. Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°

Глава V. Метод координат в пространстве. § 2. Скалярное произведение векторов → номер 477

Введем прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим сторону квадрата через а, КК1=b, где К1 — точка пересечения диагоналей, или центр

Квадрата. Тогда

Точка K1— центр квадрата, следовательно,

Тогда

Используя формулу скалярного произведения векторов, найдем длины

Векторов BD и AK. Из прямоугольного треугольника BAD:

Из прямоугольного треугольника AKK1, где

С другой стороны

Тогда, т. к. вектора ненулевые, то

Следовательно,

Что и требовалось доказать.