Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения → номер 487
а) АС — заданный отрезок, АС ⊂ а.
При движении А → А1, С → С1. Докажем, что весь отрезок АС отображается на отрезок А1C1.
Возьмем произвольную точку В ∈ АС. При движении В → В1. АВ+ВС=АС. Т. к. при движении расстояния между точками сохраняются, то A1B1=АВ, B1C1=ВС, A1C1=АС. Тогда А1С1=А1В1+В1С1. Равенство выполняется только когда точки A1, В1, С1 лежат на одной прямой, иначе по неравенству треугольника А1С1 < А1B1+В1C1, таким образом, точки отрезка АС отображаются в точки отрезка А1С1.
Б) ∠AOB — лежит в плоскости α.
При движении О → О1, А → А1, В → В1, при этом ОА=О1А1 и OB=O1B1 AB=А1В1 и ΔOAB = ΔO1А1В1 по трем сторонам, тогда ∠АOВ=∠А1В1С1.
Если ∠АOВ=180°, то ∠А1O1В1=180°.
Доказательство:
На сторонах развернутого угла возьмем точки А и В. При движении А→A1, B→B1, так что АВ=А1В1 , так что АВ=А1В1; О→О1 при движении АО=А1О1 и О1В1=ОВ. Итак, АО1+О1В1=А1В1.
Точки А1, О1, B1 лежат на одной прямой, точки А1 и В1 лежат по разные стороны от точки О1, тогда, ∠А1О1В1 — развернутый, т. е. ∠А1О1В1
= 180°, что и требовалось доказать.
