Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 508
По определению проекции прямая DD1 перпендикулярна плоскости AВС, т. е. она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
А)
D1D — направляющий вектор прямой D1D;
D1B — направляющий вектор прямой D1B. Следовательно,
Б) DD1 также направляющий вектор прямой D1D, DD1 ⊥ (АВС), т. е. DD1
⊥ ВС. BC — направляющий вектор прямой ВС. Тогда, DD1 ⊥ BC. Т. к. D1D=-DD1, то угол φ1 между DD1 и плоскостью AВС равен: φ1=180°-φ, где φ=90° — угол между D1D и плоскостью AВС;
В) DA и BC — направляющие векторы прямых DA и ВС.
Если
То
Т. к. тетраэдр ABCD — правильный, то его вершина D проектируется в центр ΔАВС. Если провести в ΔАВС высоту AM, то высота тетраэдра DD1 пересечется с высотой ΔАВС в точке D1, тогда
1) СВ ⊥ AM, т. к. AM — высота ΔАВС;
2) СВ ⊥ DD1, DD1 ⊥ (АВС);
3) AM и DD1 ∈ (DD1A), прямые AM и DD1 пересекаются.
Из 1), 2) и 3) следует, что СВ перпендикулярна плоскости DD1C, значит, CB ⊥ DA, BC ⊥ DA.
Г) DC и D1B не перпендикулярны, т. к. прямые DC и D1B не перпендикулярны. Если бы СD ⊥ D1B, то по теореме, обратной к т. о трех перпендикулярах, CD1 ⊥ D1B. Но это прямые, содержащие медианы правильного треугольника. Они не перпендикулярны.