590. Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом φ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара

Глава VI. Цилиндр, конус и шар § 3. Сфера → номер 590

С — точка, касания плоскости α со сферой; плоскость с — касательная к сфере; β образует с α угол φ; β пересекается с шаром по окружности, диаметр которой СВ.

Построим ОО1 ⊥ СВ, соединим точку О с точками С и В. ΔОО1С = ΔОО1B (прямоугольные, ОО1 — общий катет, ОС = ОВ = R). Тогда, СО1 = О1B, точка О1 — центр окружности,

По которой плоскость β пересекает шар.

Построим сечение шара плоскостью СОВ. φ — угол между плоскостями α и β.

∠OCB = 90o -φ, поскольку ΔBOC — равнобедренный, то ∠OBO1 = 90o -φ.

Из ΔОО1B:

Площадь сечения шара