639. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра

Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 639

а) Центр сферы совпадает с центром куба — точкой пересечения диагоналей куба.

Пусть

Сторона основания и (его ребро) равно х. Тогда диагональ куба

С другой стороны,

Площади поверхностей одной

Грани равна х2, а полная поверхность куба равна 6х2.

Б) Н1 и Н2 — центры оснований призмы; Н1Н2 — высота призмы. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через диаметр оснований призмы. Сечение является прямоугольником АА1В1В.

Из прямоугольного ΔОА1Н1:

А1Н1 является радиусом описанной окружности около основания призмы, а в правильном 6-угольнике его сторона равна радиусу описанной окружности.

Пусть сторона основания равна х, следовательно,

В) Пусть ребро тетраэдра равно х. Центр описанной сферы лежит на высоте DH, точка Н —

Центр ΔАВС, поэтому

Из прямоугольного ΔАDH:

Из ΔАОD по теореме косинусов :

Площадь грани тетраэдра равна

Равны и их H,

Значит