73. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=10 см, BD= 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP

Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §4 Тетраэдр и параллелепипед. → номер 73

Найдем точки пересечения пл. MNP с ребрами тетраэдра.

NP — средняя линия

Поэтому

(теорема I).

Плоскости ABD и MNP имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой, проходящей через т. М в пл. ABD.

Эта прямая параллельна NP, а раз

То эта прямая параллельна BD.

Пусть K — точка пересечения этой прямой с ребром AD (раз BD пересекает AD, тогда прямая, параллельная BD пересечет AD).

Поэтому точка K середина AD.

Утверждение доказано.

Аналогично получаем, что PK — средняя линия в ΔADC, поэтому

4-угольник MNPK — параллелограмм по определению.