Дополнительные задачи к главе VII → номер 738
Имеем DO — высота пирамиды, плоскость DOC⊥ плоскости АВС. Проведем ОМ ⊥ DC, через точку О проведем KL параллельно AB, отрезки ML и МК. KL перпендикулярно плоскости DOC, значит, KL⊥DC.
OM⊥DC — по построению. Плоскость KLM⊥DC и поэтому LM⊥DC и КМ⊥DC.
Тогда, ∠KML=2 φ, ΔKOM=ΔLOM, значит ∠KMO=∠LMO= φ .
Пусть ∠ODM= α, следовательно, из прямоугольного ΔODM: ОМ=h sinα .
Примем KO=OL=y. Из прямоугольного ΔLOM:
Рассмотрим треугольник АВС. В нем ОС — радиус описанной окружности, OС=R, а OF — радиус вписанной окружности. OF=r. Обозначим сторону основания х, следовательно,
Из подобия треугольников FCB и OLC имеем:
Т. к.
Возвращаясь к (1), имеем:
Из ΔDOC:
Или
Поэтому
Подставим в (2):
Т. е.
Вычислим сторону основания х:
С другой стороны, из ΔDOC:
