Задачи повышенной трудности → номер 767 767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из него указанным способом можно было склеить тетраэдр?
Пусть ΔABC со сторонами ВС = а, АС = b, АВ = с, углами ∠A = α, ∠В = β, ∠C = γ и радиусом описанного круга R перегнут по средним линиям A1B1, A1C1, B1C1. Вершины А, В, С опишут окружности соответственно с центрами А2, В2, С2 и радиусами АА2, ВВ2, СС2 в плоскостях, перпендикулярных средним линиям. Прямая, по которой пересекаются эти плоскости, пересечет плоскость треугольника в некоторой точке О, служащей точкой пересечения его высот AA3, ВВ3, СС3. Для того, чтобы получился тетраэдр, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения A4,B4,C4 этих окружностей с этой прямой (по одну сторону от плоскости треугольника) совпали, то есть чтобы ОА4 = ОВ4 = ОС4.
Следовательно,
Выражение симмет
Рично относительно α, β, γ и, значит,
Оно положи
Тельно лишь для остроугольного треугольника.