769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней

Задачи повышенной трудности → номер 769

Если DD0 — данная высота данного тетраэдра ABCD и AA1 || ВС, то по условию AD0 ⊥ ВС и, следовательно, AD0⊥AA1 (рис. 570). По теореме о трех перпендикулярах AD ⊥ AA1 и, значит, AD ⊥ ВС. Аналогично (D0 — пересечение всех трех высот) АВ ⊥ DC и AC ⊥ BD.

Пусть теперь СС0 — любая другая высота тетраэдра и DD1 || АВ. Так как АВ ⊥ DC, то DD1 ⊥ DC и по обратной теореме о трех перпендикулярах (№ 153) DD1 ⊥ C0D, так что АВ ⊥ С0D то есть С0 лежит на высоте треугольника ABD; аналогично С0 лежит и на остальных его высотах.