Задачи повышенной трудности → номер 785
Прямая, соединяющая любые две противоположные вершины правильного додекаэдра, является для него осью симметрии 3-го порядка, то есть при повороте вокруг нее на 120° или 240° додекаэдр совмещается с собой.
Пусть А — вершина додекаэдра, O1, O2, O3 центры прилежащих граней (рис, 583). При повороте на 120° вокруг проходящий через A
Оси 3-го порядка О, совмещается с O2, O2 — с O3, O3 — O1; следовательно, треугольник — правильный. Таким же образом используя ось, проходящую через В, убеждаемся, что треугольник O2O3O4 правильный и равный треугольнику O1O2O3. Продолжая аналогично, получаем 20 равных между собой правильных треугольников. Многоугольник, который они составляют — выпуклый, из каждой его вершины исходит 5 ребер. Он является поэтому правильным икосаэдром.