Задачи повышенной трудности → номер 790 790. Основание ABC тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу. (На этом свойстве основано устройство уголкового отражателя, который, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния до нее с помощью лазера.)
Направим оси координат вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Продолжение данного луча с направляющим вектором
И луч, отраженный от плоскости Оху, симметричны относительно этой плоскости. Поэтому вектор
Является направляющим вектором отраженного луча
Действительно,
Где вектор
Лежит в плоскости Оху, а векторы
Перпендикулярны к плоскости Оху, противоположно направлены и имеют равные длины.
Аналогично
Направляющий вектор луча, отраженного or Oxz, а вектор
• направляющий вектор луча, отраженного от Оуz. Но тогда
Следовательно, направления входящего и выходящего лучей противоположны.
Замечание: в данной задаче существенно, что луч успевает отразится от всех граней тетраэдра.