Задачи повышенной трудности → номер 814 814. Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки О и H симметричны относительно точки G.
Лемма 1. (Геометрия 7—9, стр. 141, Геометрия 10— 11, стр. 94.). Все медианы в треугольнике A1A2A3 пересекаются в одной точке М, называемой центроидом треугольника, где для любой точки О
(1)
И M делит каждую медиану в соотношении 2:1.
Если С1 — середина A2A3„ то (Геометрия 7—9, стр. 199)
Точка M, определяемая равенством (1), лежит на медиане А1С1 и делит её в соотношении 2 : 1. Действительно:
Откуда
И
Для остальных
Медиан доказательство аналогично.
Лемма 2. Все прямые, соединяющие вершины тетраэдра A1A2A3A4 с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке G (называемой центроидом тетраэдра), где
Если М4 — центроид грани A1A2A3, то
Следовательно,
Откуда
Причем
Для остальных прямых доказательство аналогично.
По условию все высоты тетраэдра A1A2A3A4 пересекаются в точке H. Пусть G — центроид тетраэдра; докажем, что точка С, для кото-
Рой
Является центром описанной около тетраэдра сферы, то есть, что
Или
Согласно лемме 2:
(2)
Аналогично
(3)
Так как
То
Аналогично равны друг другу все произведения вида
Где
После раскрытия скобок в (2) и (3) все удвоенные произведения окажутся равными между собой, так что
Аналогичны верны и остальные равенства (1). Так как
То точки H, С и G лежат на одной прямой.