Для предлагаемой задачи можно пользоваться картами, которые нетрудно нарезать из бумаги, и нарисовать на них карандашом или чернилами черные кружочки. На первой — один кружочек, на второй — 2, на третьей — 3 и т. д. до десяти. Каждую карту надо сделать в двух экземплярах. Теперь мы вполне подготовлены для практического решения задачи.
Взято десять сделанных нами карточек, от единицы до десятки. Вычислить, сколько всего очков будет в этих десяти картах, не прибавляя последовательно очков первой карты ко второй, результата того сложения — к очкам третьей и т. д., т. е. не делая длинного ряда последовательных сложений.
Решение. Дело сводится к тому, чтобы быстро, ез последовательного сложения узнать сумму первых десяти чисел (от 1 до 10). Берем десять карт от диницы до десятки и кладем их в ряд. Берем затем есять других карт и подкладываем их под первым ядом, но только в обратном порядке:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
У нас получается два ряда по десяти карт, или есять столбцов по две карты. Если сосчитать, сколько очков в каждом столбце, окажется, что в каждом голбце по одиннадцати очков. А всего в десяти голбцах, или в двух рядах карт,- десять раз по диннадцати очков, или 110 очков. Но в обоих длинных рядах, очевидно, по одинаковому числу очков, начит, сумма всех очков одного ряда равна половине 110, т.е. равна 55. Итак, в десяти картах — 5 очков. Нетрудно видеть, что подобным же образом, не рибегая к последовательному сложению, мы можем ычислить сумму любого ряда целых последовательных чисел до любого данного числа. Например, сумма всех чисел от 1 до 100 будет равна половине сто раз взятого 101, т. е. 5050.