В данном квадрате построить правильный восьмиугольник. Решение. Возьмем квадрат и известным уже нам способом посредством сгибов впишем в него другой квадрат (рис. 77). Разделим пополам углы между сторонами данного и вписанного квадратов. Пусть сгибы, делящие эти углы пополам, пересекаются в точках Е, F, G и Н.
Рис. 77
Полученный многоугольник AEBFCGDH и есть искомый правильный восьмиугольник. Действительно, треугольники ABE, BFC, CGD и DHA в нем равнобедренные и при наложении совпадают. Значит, стороны полученного восьмиугольника равны.
Углы многоугольника AEBFCGDH тоже равны. В самом деле, каждый из углов при вершинах Е, F, G, Н тех же треугольников равен полтора раза взятому прймому углу, так как углы при основании этих треугольников равны четверти прямого угла. Отсюда ясно, что и углы восьмиугольника при точках А, В, С и D также равны полтора раза взятому прямому углу каждый, т. е. все углы восьмиугольника равны между собой.
Сторона взятого квадрата а представляет наибольшее расстояние между точками восьмиугольника.