Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз ие пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали. Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.
Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.
1. В небольшой городок с 50-тысячным населением приехал в 8 час. утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В доме, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
Итак, в 8 1/4 час. утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям.
Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 х 3) = 13 человек.
Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что к 8 3/4 часам утра новость стала известна
13 + (3 x 9) = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший про новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
в 9 час. новость узнают 40 + (3 х 27) = 121 чел.,
в 9 1/4 час. новость узнают 121 + (3 х 81) = 364 чел.,
в 9 1/2 час. новость узнают 364 + (3 х 243) = 1093 чел.
Рис. 51. Путь распространения слуха
Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
в 9 3/4 час. новость узнают 1093 + (3 х 729) = 3280 чел.,
в 10 час. новость узнают 3280 + (3 х 2187) = 9841 чел.
Еще спустя четверть часа будет уже осведомлено больше половины города:
9841 + (3 х 6561) = 29524.
И, значит, ранее чем в половине одиннадцатого дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 час. утра известна была только одному человеку.
2. Проследим теперь, как выполнен был предыдущий подсчет.
Он сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:
1 + 3 + (3 х 3) + (3 х 3 х 3) + (3 х 3 x 3 x 3) + и т. д.
Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы раньше сумму чисел ряда 1+2+4+8 и т. д.? Это возмояшо, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
1 = 1
3 = 1 x 2 + 1
9 = (1 + 3) х 2 + 1
27 = (1 + 3 + 9) х 2 + 1
81 = (1 + 3 + 9 + 27) х 2 + 1 и т. д.
Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел плюс единица.
Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел нашего ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув в последнем числе единицу).
Например, сумма чисел
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
Равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.
3. В нашем случае каждый житель, узнавший новость, передавал ее только трем гражданам. Но если бы жители города были еще разговорчивее и сообщали услышанную новость не 3 гражданам, а, например, 5 или даже 10 другим, слух распространялся бы, конечно, гораздо быстрее.
При передаче, например, пятерым картина осведомления города была бы такая:
В 8 час. = 1 чел.,
В 8 1/4 час. 1 + 5 = 6 чел.,
В 8 1/2 час. 6 + ( 5 x 5) = 31 чел.,
В 8 3/4 час. 31 + ( 25 x 5) = 156 чел.,
В 9 час. 156 + ( 125 x 5) = 781 чел.,
В 9 1/4 час. 781 + ( 625 x 5) = 3906 чел.,
В 9 1/2 час. 3906 + (3125 x 5) = 19531 чел.
Ранее чем в 9 3/4 часа утра новость будет уже известна всему 50-тысячному населению города.
Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10 другим. Тогда получим такой любопытный, быстро возрастающий, ряд чисел:
В 8 час. = 1,
В 8 1/4 час. 1 + 10 = 11,
В 8 1/2 час. 11 + 100 = 111,
В 8 3/4 час. 111 + 1000 = 1111,
В 9 час. 1111 + 10000 = 11111.
Следующее число этого ряда, очевидно, 111111 — это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!