§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 20 Так как прилежащий к основанию угол больше 60°, то угол при вершине меньше 60°. По теореме синусов против меньшего угла лежит меньшая сторона, так что боковая сторона больше.
Archive for февраля, 2013
№ 21. У треугольника АВС угол Ступой. Докажите, что если точка Х лежит на стороне АС, то ВХ < ав
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 21 Проведем ВН ⊥ АС. Так как X лежит на АС, то АН > ХН, а значит, наклонная АВ > ВХ (т. к. из двух наклонных больше та, проекция которой больше). Что и требовалось доказать.
№ 22. У треугольника ABC угол C тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне AC, а точка Y — на стороне BC, то XY < ab
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 22 Cоединим X с B, по доказанному в предыдущей задаче XB < AB и XY < XB. Так что XY < AB, что и требовалось доказать.
№ 23. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 23 Проведем CK ⊥ AB. Точка D лежит или между B и К или между A и K. Если D лежит между точками К и B, то KB > KD; а если проекция больше, то больше и наклонная, т. е. AB > …
Подробнее…
Ляпунов Алексей Андреевич
Этот ученый неоднократно был отмечен орденами и медалями за научные труды. Известный математик, специалист по теории множеств и функции и основоположник кибернетики родился в Москве в 1911 году. Полтора года проходил обучение в Московском университете на физико-математическом факультете, затем стал учеником Лузина. С его помощью …
Подробнее…
№ 24*. Дан треугольник ABC, CD — медиана, проведенная к стороне AB. Докажите, что если AC > BC, то угол ACD меньше угла BCD
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 24 Продолжим медиану CD и отложим на ней отрезок DE = CD; полученный четырехугольник ACBЕ — параллелограмм. BE = AC и CB = AЕ. В ΔACЕ ∠ACD лежит против стороны AЕ = CB. B ΔCBЕ ∠BCD лежит против стороны BE = AC. …
Подробнее…
№ 25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 25 Пусть в ΔABC, AK — высота, AN — биссектриса ∠A, AE — медиана. Из точки A к прямой BC проведены перпендикуляр AK (высота) и две наклонные. Cледовательно точка N принадлежит либо KB, либо KE. Точка N совпадает с K, тогда AN …
Подробнее…
№ 26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 26 Используя теорему синусов: Получаем: Используя теорему синусов: Получаем: Используя теорему синусов: Получаем: Используя теорему синусов: Получаем Используя теорему синусов: Получаем:
№ 27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 27 2) Используя теорему косинусов, находим: 3) Используя теорему косинусов, находим: 4) Используя теорему косинусов, находим: 5) Используя теорему косинусов, находим: 6) Используя теорему косинусов, находим: Далее; Так что А = 130°, а у = 180° — 15° — 130° = 35°.
№ 28. B треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы к сторону треугольника, если
§12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ → номер 28 1) По теореме синусов имеем: Откуда Получаем: 2) По теореме синусов имеем: Откуда Получаем: 3) По теореме синусов имеем: Откуда Получаем: 4) По теореме синусов имеем: Откуда Получаем: Но sin b должен быть меньше 1, значит, задача не имеет решения. 5) …
Подробнее…