§13. Многоугольники → номер 6 Для замкнутой ломаной длина самого большого звена должна быть меньше суммы длин всех остальных звеньев. Для данной ломаной должно выполняться 1+ 2+ 3+ 4 > 11, то есть 11 < 10, что неверно. Ответ. Не может.
Archive for февраля, 2013
№ 8. Сколько диагоналей у n-угольника?
§13. Многоугольники → номер 8 Из каждой вершины n-угольника можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой себя и двух соседних, т. е. n — 3 диагонали. Поскольку каждая диагональ соединяет две вершины, то общее количество диагоналей
№ 10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их
§13. Многоугольники → номер 10 По теореме о сумме углов многоугольника имеем: Пусть градусная мера 1-го угла k°, 2-го — 2k°, 3-го — 3k° и 4-го — 4k°. Так как сумма всех углов 360°, получим уравнение:
№ 13. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
§13. Многоугольники → номер 13
№ 14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2я-угольника являются вершинами правильного n-угольника. Пусть АВСDEF — правильный 2n-угольник
§13. Многоугольники → номер 14 Рассмотрим ΔАВБ и ΔВСD FА = ВС, АВ = С (как стороны правильного многоугольника); ∠А = ∠С (как углы правильного многоугольника). Значит, ΔFAB = ΔВСD (по 1-му признаку), т. е. FB = ВD. Аналогично доказывается, что все стороны n-угольника ВDF равны, следовательно …
Подробнее…
№ 15. Докажите, что середины сторон правильного n-угольника являются вершинами другого правильного n-угольника. Пусть АВСDЕ — правильный n-угольник, АА1 = А1В, ВВ1 = В1С и т. д
§13. Многоугольники → номер 15 Рассмотрим ΔА1ВВ1 и ΔВ1СС1. А1В = В1С, ВВ1 = СС1 (как половины равных сторон n-угольника); ∠В = ∠C (из условия). Значит, ΔА1ВВ1 = ΔВ1СС1, так Что А1В1 = В1С1. Аналогично доказывается, что все стороны полученного n-угольника равны, то есть n-угольник — правильный. …
Подробнее…
№ 17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите
§13. Многоугольники → номер 17 Нужно доказать, что: Где R — радиус окружности. Что и требовалось доказать.
№ 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите
§13. Многоугольники → номер 18 Что и требовалось доказать.
№ 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Дано: ΔАВС — правильный, вписанный в окружность
§13. Многоугольники → номер 19 А3 = а. Найдем а4.