Глава III Многогранники. § 2. Пирамида → номер 254 254. В правильной Треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.
а) PO — высота пирамиды PABC. Радиус R описанной вокруг правильного треугольника окружности равен
Поэтому
Б)
Высота, а следовательно, и медиана. Поэтому
Следовательно
Значит,
В) Искомый угол — это ∠PBO.
Г) Искомый угол — это угол ∠РКО, так как РК⊥СВ по построению, а ОК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Поэтому
Д) Проведем высоту СМ в ΔРВС (рис. 168). Тогда из равенства ΔPAB и ΔPBC следует, что AM — высота ΔPAB и АМ= СМ. Найдем СМ: пусть ВМ = х, тогда
Таким образом
Откуда
Тогда
Где ML — высота и медиана ΔАМС. Тогда
