349. Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = λ-MB, где λ≠— 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство

Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 349

OM = (OA + λ⋅OB)/(1 + λ).

Решение. Из равенства АМ — λ⋅МВ следует, что векторы АМ и MB коллинеарны, поэтому прямые АМ и MB либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку М, то они совпадают, и, следовательно, точки А, В и М лежат на одной прямой. Поскольку АМ =ОМ — ОА, МВ = ОВ — ОМ, то из равенства АМ = λ⋅МВ имеем ОМ — ОА = λ(ОВ — ОМ), или (1 + λ) ОМ = ОА + λ⋅ОВ. Отсюда, разделив на 1 + λ получаем искомое равенство.