Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар → номер 759
Плоскость треугольника АВС, лежащего в основании пирамиды, пересечет шар по окружности, и треугольник АВС будет вписан в эту окружность. Пусть
АВ — гипотенуза, следовательно, ∠АСВ=90°, тогда, он опирается на диаметр, которым является гипотенуза АВ.
Построим высоту пирамиды МО. Построим отрезки ОА, ОВ, ОС; эти три отрезка являются проекциями соответствующих наклонных боковых ребер пирамиды.
В треугольниках МОА, МОВ, МОС МО — общий катет, ∠МАО=
=∠МВО=∠МСО=α — по условию, тогда, ΔМОА=ΔМОВ=ΔМОС, откуда ОА=ОВ=ОС, то есть точка О — равноудалена от вершин основания и поэтому является центром описанной около основания окружности.
Таким образом, МО — высота пирамиды, МО лежит в плоскости АМВ, тогда, плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС
Из теоремы синусов следует, что:
R — радиус шара.
Площадь поверхности шара:
Вычислим объем шара:
