Задачи повышенной трудности → номер 784
Пусть выпуклый многогранник имеет f граней, k ребер и е вершин. Отделив от него какую-нибудь грань, получим многогранную поверхность Р1. Отделив от P1 грань, прилежащую к его краю, получим многогранную поверхность Р2. Продолжая этот процесс, получим через s шагов
Поверхность Ps с числом
Граней fs, ребер ks и вершин es.
Докажем индукцией по числу граней, равному
Что
(1)
При
(то есть s = f— 1) равенство (1) верно, так как тогда
Откуда
Пусть (1) верно для
, докажем (1) для
Разрежем
По ломаной, соединяющей две вершины, лежащие
На краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. Получим поверхности
Соответственно с
Гранями,
Ребрами,
Вершинами. Так как
То
(2)
(3)
Пусть n — число ребер разреза; тогда число его вершин n + 1. Если сосчитать число ребер или вершин на
И результаты сложить, то каждое ребро или вершина разреза будут сосчитаны дважды; поэтому
Кроме
Того,
Тогда, складывая (2) и (3), получим
То есть
И (1)
Доказано для
Тем самым (1) верно для любого fs.
В частности, при
(то есть при s=1) имеем
Так как
То
