Все три задачи неразрешимы; счетчик мог безбоязненно обещать за их решения любую премию. Чтобы в этом удостовериться, обратимся к языку алгебры и рассмотрим задачи одну за другой.
Уплата 5 рублей. Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось х 50-копеечных, у 20-копеечных и z 5-копеечных монет. Имеем уравнение:
50x + 20y + 5z = 500.
Сократив на 5, получаем:
10x + 4y + z = 100.
Кроме того, так как общее число монет, по условию, равно 20, то х, у и z связаны еще и другим уравнением:
X + y + z = 20.
Вычтя это уравнение из первого, получаем:
9x + 3y = 80.
Разделив на 3, приводим уравнение к виду:
3х + у = 26 2/3.
Но 3x, тройное число 50-копеечных монет, есть, конечно, число целое. Число 20-копеечных, у, также целое. Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным (26 2/3). Наше предположение о разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.
Подобным же образом читатель убедится в неразрешимости двух других, удешевленных задач: с уплатою в 3 и 2 руб. Первая приводит к уравнению
3х + у = 13 1/3,
Вторая — к уравнению
3x + у = 6 2/3.
То и другое в целых числах неразрешимо.
Как видите, счетчик нисколько не рисковал, предлагая крупные суммы за решение этих задач: выдать премии никогда не придется.
Другое дело было бы, если бы требовалось уплатить двадцатью монетами названного достоинства не 5, не 3 и не 2 руб., а например 4 руб.: тогда задача легко решалась бы и даже семью различными способами*.
* (Вот одно из возможных решений: 6 монет 50-копеечных, 2 монеты 20-копеечные и 12 монет 5-копеечных.)