Дано:
На концах и в середине невесомого стержня длиной L расположены (сверху вниз) шарики массами 3m, 2m, m. Стержень ставят вертикально и отпускают. Считая, что трение между плоскостью и нижним шариком отсутствует, найдите скорость верхнего шарика в момент удара о горизонтальную плоскость.
Как изменится ответ, если нижний шарик шарнирно закрепить?
Решение
Случай 1: Нижний шарик (m) не закреплен.
В этом случае стержень падает, одновременно вращаясь около центра масс. Падение начинается (из состояния неустойчивого равновесия) потому, что при малом отклонении стержня от вертикали возникает вращательный момент относительно центра масс стержня. Этот вращательный момент создается силой реакции опоры (N), действующей на нижний шарик и направленной вверх перпендикулярно плоскости.
Направим ось y вверх, а ось x – вправо.
Рис.1.Падающий стержень. Силы, скорости и их проекции.
Тогда в соответствии с теоремой о движении центра масс (ЦМ) системы:
M*acy= -Fт+N (1)
M*acx= 0, (2)
Где acx, acy – соответственно проекции ускорения ЦМ на оси x, y;
M – суммарная масса системы (M=m+2*m+3*m=6*m);
Fт – сила тяжести системы.
Из (2): acy=0 => Dvcx=0 => vcxк=0 (т.к. vcxн=0) (конечная y-проекция скорости ЦМ)(3)
Найдем расстояние ЦМ от нижнего шарика:
Lc= ((2*m)*L/2+(3*m)*L)/M = 2/3*L
Отсюда расстояния шариков от ЦМ:
L3=Lc; L2=Lc-L/2=L/6; L1=L-Lc=L/3
Cкорости шариков найдутся как векторные суммы:
v1=vc+vвр1; v2=vc+vвр2; v3=vc+vвр3
Проекции вращательных и полных скоростей шариков в конечный момент времени (стержень горизонтален):
vвр1x= vвр2x= vвр3x=0 => v1x= v2x= v3x=0 (учитывая (3)) (3а)
vвр1y= -vвр1; vвр2x= vвр2; vвр3x= vвр3 (т.к. шарики 2 и 3 находятся правее ЦМ, а шарик 1 – левее) =>
=> v1y= -vcy-vвр1; v2y= -vcy+ vвр2; v3y= -vcy+vвр3 (4)
Из условия задачи также: v3y=0 (нижний шарик неподвижен вдоль оси y) => -vcy+vвр3=0 (с учетом (4)) => vcy=vвр3 (5)
Поскольку все шарики находятся на одном стержне:
vвр1=w*L1; vвр2=w*L2; vвр3=w*L3, (6)
где w – угловая скорость системы
Подставляя (5) и (6) в (4), получим:
v1y= w*(-L3-L2); v2y=w*(-L3+L2) (7)
Учитывая (3а) и (6) найдем модули полных скоростей шариков в конечный момент времени:
v1= w*(-L3-L2); v2=w*(-L3+L2); v3=0 (8)
Наконец, остается применить закон сохранения полной механической энергии системы:
Eк-Eн=0 (9)
Начальная энергия:
Eн= 3*m*g*L+ 2*m*g*L/2+m*g*0
Конечная энергия:
Eк= 3*m*v1^2/2+ 2*m*v2^2/2+ m*0^2/2
Решив уравнение (9) относительно w, а затем подставив найденное значение в (8), найдем v1. Что и требовалось найти (ч.т.н.)
Случай 2: нижний шарик (m) закреплен шарнирно.
В этом случае происходит вращение стержня относительно шарика m (при неподвижности последнего относительно плоскости), поэтому поместим начало СК в эту точку.
Тогда
Eн= 3*m*g*L+ 2*m*g*L/2+m*g*0
Eк= 3*m*v1^2/2+ 2*m*v2^2/2
v1= vвр1; v2= vвр2 (1)
vвр1=w*L; vвр2=w*L/2
По закону сохранения энергии:
Eк-Eн=0 (2)
Решив уравнение (2) относительно w и подставив в (2), найдем искомое v1.