103. На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM:MA = DN:NB = DP:PC. Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ABC равна 10 см2 и DM: МА = 2:1

Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 103

Рассмотрим ΔADC и ΔMDP.

Из условия

Но

Отсюда

Так как у ΔADC и ΔMDP угол D — общий, а стороны, образующие ∠D — пропорциональны, значит, ΔADC ~ ΔMDP.

Из подобия следует:

Из равенства углов получим, что МР || AC.

Аналогично, для грани DCB, имеем, что PN || CB.

Итак, MP || AC и PN || CB. По теореме п. 10 пл. MNP || пл. ABC. ΔMNP ~ ΔABC (по двум углам).

Или

Раз

То

Т. к. площади подобных фигур относятся как

Квадраты линейных размеров.

Ответ: