137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой

Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 137

Решение

Пусть скрещивающиеся прямые а и b лежат в параллельных плоскостях (известная теорема).

1. Проведем через b пл. β; β || a.

2. Проведем АА1⊥β и ВВ1⊥β.

3. По теореме

(если

То

4.

5. Из т. С1 проведем С1С ⊥ β. Она пересечет АВ в точке С (b ⊥ пл. АС1А1. В пл. АС1А1 проведем С1С || A1A. Тогда b ⊥ С1С — по определению. Если найдется прямая С1С2 ⊥ β и С2 не совпадает с С, тогда через т. С1 будет проходить 2 плоскости, перпендикулярные к b: пл. А1АВВ1 и пл. СС1С2; а это невозможно).

Итак,

6.

Т. о. через а проходит плоскость ⊥ к b. Что и требовалось доказать.