Глава III Многогранники. § 2. Пирамида → номер 246 246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание; б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.
а) Пусть высота пирамиды — РО, а высоты боковых граней РА1, РВ1, РС1 (рис. 161 ).
ОА1 — проекция РА1, поэтому ОА1 ⊥ ВС. Значит OA1 — расстояние от точки О до BC. Аналогично ОВ1 и ОС1 — расстояние от точки О до АС и AB соответственно. Но по теореме Пифагора:
Аналогично ОА1 и ОС1 равны 9 см. Но это и означает, что О — центр вписанной окружности. б) Площадь треугольника S вычисляется через радиус r вписанной окружности и полупериметр p последующей формуле:
Поэтому
