Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 634
а) Рассмотрим сечение, проходящее через ось. Получим квадрат и вписанную в него окружность, ее радиус равен радиусу сферы. Обозначим ребро куба через x; x = 2 R. Площадь одной грани равна x2, или 4R2.
Б) Высота призмы О1О равна диаметру сферы; точки касания сферы с боковыми гранями лежат в сечении призмы плоскостью, которая проходит через середину высоты призмы (центр сферы) перпендикулярно к боковым ребрам.
Пусть сторона правильного 6-угольника равна х, тогда
Боковая грань — прямоугольник, его площадь равна H•x или
Вычислим площадь боковой поверхности:
Площадь основания состоит из площадей 6-ти равносторонних треугольников, площадь каждого из которых равна
Тогда площадь основания равна
В) Все ребра тетраэдра равны; пусть они равны х. Построим АК ⊥ ВС, отрезок DK. В правильном ΔАВС АК проходит через центр ΔАВС. По теореме о трех перпендикулярах DK ⊥ ВС. ∠АKD — линейный угол двугранного угла при основании тетраэдра (все двугранные углы равны).
ΔOKL=ΔOKH, ОК — биссектриса ∠АKD.
Из ΔDBK
HK — радиус вписанной окружности,
Пусть ∠DKH= φ В ΔDKH:
Из ΔОНК:
Отсюда
Грани правильного тетраэдра — это равные равносторонние треугольники, поэтому площадь полной поверхности
