635. Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен α. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, α = 60°

Разные задачи на многогранник, цилиндр, конус и шар → номер 635

РО — высота пирамиды. Проведем прямую MN параллельную AD через точку О, отрезки РМ и PN. По теореме о трех перпендикулярах

PN⊥DC, PM ⊥ AB. Центр сферы совпадает с точкой пересечения биссектрис двугранных углов при основании: также известно, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте пирамиды. Значит, SN — биссектриса ∠PNO — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.

Обозначим

В ΔPON:

В A SON:

Отсюда

Отсюда

Итак,

При R=5 см и φ =60 ° получим: