Введение → номер 11 Пусть есть прямая а, точка М и М ∉ а. Из теоремы п. 3, через а и М проходит единственная плоскость а. Прямые, пересекающие А, пересекают ее в точке, лежащей в α. Точка М — общая для всех прямых l1, l2, l3 и …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости
12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?
Введение → номер 12 Поскольку плоскости АВС и ABD имеют общую точку А, то они пересекаются по прямой, проходящей через т. А (аксиома А3). Ответ: да.
13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?
Введение → номер 13 А) Неверно, по аксиоме А3 они пересекаются по прямой. Б) Неверно, по той же причине. В) Верно, по аксиоме А3. Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
Введение → номер 14 Рассмотрим два случая: А) Из теоремы п. 3 имеем, что через каждый две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость; поэтому через данные три прямые проведено 3 плоскости. Б) Если все три прямые лежат в одной плоскости, то плоскости, упомянутые в п. а, совпадают. …
Подробнее…
15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку
Введение → номер 15 Каждая из трех точек принадлежит одновременно прямым. Через три точки по аксиоме А1 можно провести единственную плоскость α. Поэтому отрезки АВ, ВС и АС лежат в плоскость α (по аксиоме А2), значит, прямые, которым принадлежат эти отрезки, тоже лежат в α. Рассмотрим второй …
Подробнее…
17. На рисунке 17 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, ВС =14 см
Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости. → номер 17 Поскольку Из условий По теореме п. 5 получим: PM || QN. Отсюда следует, что P, Q, M и N лежат в 1 плоскости. Получим, что MN и PQ — средние линии в …
Подробнее…
16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α
Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости. → номер 16 Так как Поэтому
18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ1=7 см; б) АС
Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости. → номер 18 18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину …
Подробнее…
19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α
Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости. → номер 19 По лемме п. 5 CD пересечет α, т. к. CD || AB, а АВ пересекает α. По лемме п. 5 AD пересечет α, т. к. AD || BC, а ВС пересекает α.
20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обоснуйте
Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости. → номер 20 По свойству средней линии А по теореме I Следовательно, не пересекает. По теореме I Следовательно, не пересекает.