Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 95 В пл. а всегда найдется прямая b || a; раз β пересекается с а, то и b пересекается с β, значит, β пересечется с α.
Archive for марта, 2013
96. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 96 Соединим точки А и В. А, В, С, D лежат в одной плоскости, что следует из факта m || n. AB || CD (по известной теореме). Рассмотрим 4-угольник ABCD: AC || DB — по условию; …
Подробнее…
97. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 97 Доказательство дано в п. 8 По теореме п. 10 α || β. В пл. β из т. О проведем ОС1 || OB. Согласно теореме п. 4 через т. О1 может проходить только единственная прямая, параллельная …
Подробнее…
98. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости α? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 98 Да, существует; такая плоскость только одна. Выберем на прямой а || α произвольную т. А. Тогда через т. А можно провести единственную плоскость, параллельную α (задача 59, решена в учебнике). Пусть через а можно провести …
Подробнее…
99. Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 99 Согласно п. 11, Рассмотрим плоскость ОАА1. В ней по теореме о пропорциональных отрезках выполняется доказываемое утверждение. Замечание. Если две параллельные прямые пересекают 3 плоскости, то согласно п. 11, 2о, длины отрезков между двумя плоскостями равны, …
Подробнее…
100. Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 100 А и b — скрещиваются, а ⊂ α. По теореме о скрещивающихся прямых (п. 7, теорема вторая), через прямую а можно провести единственную плоскость β || b. Докажем, что через т. А можно провести плоскость …
Подробнее…
101. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 101 Соединим середины ребер, лежащих в одной грани; получим, что каждый из отрезков будет средней линией соответствующего треугольника. Поэтому Поэтому Значит, 4-угольник MNPQ — параллелограмм по определению, его диагонали QN и МР пересекаются в т. О …
Подробнее…
102. Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если длины всех ре
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 102 102. Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если длины всех ребер тетраэдра равны …
Подробнее…
103. На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM:MA = DN:NB = DP:PC. Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ABC равна 10 см2 и DM: МА = 2:1
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 103 Рассмотрим ΔADC и ΔMDP. Из условия Но Отсюда Так как у ΔADC и ΔMDP угол D — общий, а стороны, образующие ∠D — пропорциональны, значит, ΔADC ~ ΔMDP. Из подобия следует: Из равенства углов получим, …
Подробнее…
104. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD
Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 104 Проведем ME || AC и MF || BD. По теореме II плоскость сечения пересечет пл. BCD по прямой, параллельной MF (MF || пл. BCD по построению), значит, проводим EK || BD. Соединим точки K и …
Подробнее…