Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 364 Так как К— середина B1C1, то Но AK — диагональ прямоугольного параллелепипеда. построенного на векторах
Archive for марта, 2013
365. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка M — середина АВ, а точка К — середина MD. Разложите векторы ОМ и ОК по векторам а = ОА, b = ОВ, с = ОС
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 365 И т. к. К — середина MD, то Но Поэтому
366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка пространства, то
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 366 Решение. По теореме о точке пересечения медиан треугольника АМ — 2МА1, где АА1—медиана треугольника ABC (рис. 110). Согласно задаче 349 Но (объясните почему), поэтому
367. В тетраэдре ABCD медиана АА1 грани ABC делится точкой К так, что АК:КА1 =3:7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 367 По задаче 349: Но Так как А1 — середина ВС. Поэтому
368. Точки М и N являются серединами ребер АВ и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Разложите, если это возможно, по векторам АВ и AD вектор: а) AC; б) СМ; в) C1N; г) AC1; д) A1N; е) AN; ж) MD
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 368 368. Точки М и N являются серединами ребер АВ и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Разложите, если это возможно, по векторам АВ и AD вектор: а) AC; б) СМ; в) C1N; г) AC1; д) A1N; е) AN; …
Подробнее…
369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 369 Указание. Воспользоваться задачей 366.
370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам a = DA, b=DB, c = DC вектор: a) DN; б) DK; в) AМ; г) МК
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 370 Точки N и М являются центрами треугольников ABC и BCD (рис. 223). А) Б) Очевидно, что Причем коэффициент подо бия равен Т. к. И Поэтому, Значит В) Г)
371. В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной A
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 371 Указание. Воспользоваться задачами 366 и 350.
372. Докажите, что диагональ АС1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 111)
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 372 372. Докажите, что диагональ АС1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 111). Точно так же можно доказать, что точка M2 пересечения …
Подробнее…
373. Точки А1, В1, С1 и М1 — основания перпендикуляров, про веденных к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 112). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересек
Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора → номер 373 373. Точки А1, В1, С1 и М1 —основания перпендикуляров, про веденных к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 112). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны …
Подробнее…