Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 345 А) Так как И лучи И Сонаправлены. Таким образом (рис. 211). б) Таким образом
Archive for марта, 2013
346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ — ON через векторы АР и ВС
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 346 Так как То надо выразить NM через AD и ВС. (рис. 212); Сложим полученные равенства, учитывая, что Т. о., Поэтому
347. Упростите выражение: а) 2(m+n)-3(4m-n)+m;б) m-3(n-2m+p)+5(p-4m)
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 347 Указание. Использовать свойства умножения вектора на число из п. 38.
348. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC1+B1D=2BC
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 348 Так как АС1 и В1D — диагонали параллелепипеда, то они пересекаются в точке О. Тогда Таким образом Что и требовалось доказать.
349. Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = λ-MB, где λ≠— 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки О пространства выполняется равенство
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 349 OM = (OA + λ⋅OB)/(1 + λ). Решение. Из равенства АМ — λ⋅МВ следует, что векторы АМ и MB коллинеарны, поэтому прямые АМ и MB либо параллельны, либо совпадают. …
Подробнее…
350. Известно, что p = a + b + c, причем векторы a, b и c попарно не сонаправлены. Докажите, что |p| < |а| + |b| + |с|
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 350 Отложим вектор AB, равный a, от точки А, вектор BC равный b, от точки В, и вектор CD равный c, от точки С. Тогда AD = p. Заметим, что …
Подробнее…
351. Векторы a и c, а также b и c коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) a + b и с; б) a — b и c; в) a + 3b и с; г) — a + 2b и с
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 351 а) Так как a коллинеарен c, то существует число k такое, что Аналогично Тогда Та ким образом вектора Коллинеарны б, в, г) Аналогично п. а).
352. Векторы a + b и a — b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 352 Так как Коллинеарны, то Таким образом Значит Значит Но это и означает, что вектора a и b коллинеарны.
353. Векторы a + 2b и a — 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 353 Указание: аналогично задаче 352.
354. Докажите, что если векторы a + b и a — b не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы a + 2b и 2a — b не коллинеарны
Глава IV. Векторы в пространстве § 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число → номер 354 . а) Предположим, что a и b коллинеарны. Тогда Но тогда Значит Таким образом Коллинеарны, что противоречит условию, значит a и b не коллинеарны. б) Аналогично п. а).