Дополнительные задачи к главе I Параллельность прямых и плоскостей. → номер 115 Проводим ВС1, DC1, AD. Плоскость BDC1 построена. Через т. М проведем: По известной теореме.
Archive for марта, 2013
131. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ = AC, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 131 Дано: Решение: ΔАВС — равнобедренный, АМ — медиана, то и высота, то есть АМ ⊥ ВС. ΔDCB — равнобедренный, DM — медиана, то и высота, то есть DM ⊥ BC. Т. к. MD …
Подробнее…
116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1, и AB⊥A1D1 если ∠BAD =90°; б) АВ⊥СС1 и DD1⊥A1B1, если AB⊥DD1
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 116 116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1, и AB⊥A1D1 если ∠BAD =90°; б) АВ⊥СС1 и DD1⊥A1B1, если AB⊥DD1. Решение: 1. Все грани параллелепипеда — параллелограммы. 2. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. …
Подробнее…
117. В тетраэдре ABCD известно, что BC⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N — середины ребер АВ и АС
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 117 В тетраэдре ABCD известно, что ВС⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N — середины ребер АВ и АС. (как средняя линия ΔВАС), то AD⊥MN (по лемме п. 15). Что и требовалось доказать.
118. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠AOB, ∠MOC, ∠DAM, ∠DOА, ∠BMO?
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 118 Условие Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости а, а точки О, В, С и D лежат в плоскости а. Какие из следующих уг лов являются прямыми: ∠АОВ, ∠МОС, …
Подробнее…
119. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: a) AB = DB; б) AB=AC, если ОВ=ОС; в) OB = OC, если АВ=АС
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 119 Решение: А) Рассмотрим ΔABD. Поэтому — по двум катетам, Б) Рассмотрим ΔАОВ и ΔАОС. — по определению; — по условию; — общая. Треугольники АОВ и АОС равны по двум катетам. Отсюда: В) Т. …
Подробнее…
120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОK = b
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 120 Решение По двум катетам — по определению, — общий катет, Поэтому Отсюда:
121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC, причем СК = 12 см. Найдите КМ
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 121 Решение: ΔKMC прямоугольный. ΔМВС, теорема косинусов: Следовательно, Ответ: 13 см.
122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16 √3 см, ОK = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 122 122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16 √3 см, ОK = 12 см, CD = …
Подробнее…
123. Докажите, что если две плоскости α и β; перпендикулярны к прямой а, то они параллельны
Глава II Перпендикулярность прямых и плоскостей. §1 Перпендикулярность прямой и плоскости → номер 123 Решение. Проведем какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы она пересекала плоскости α и βв различных точках A и B. По первой теореме п.16 плоскости α и β перпендикулярны к прямой АВ. Если …
Подробнее…