Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 508 По определению проекции прямая DD1 перпендикулярна плоскости AВС, т. е. она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. А) D1D — направляющий вектор прямой D1D; D1B — направляющий вектор прямой D1B. Следовательно, Б) DD1 также …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D1B и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC?
509. Вычислите косинус угла между прямыми АВ и CD, если: а) A (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С(2; -3; 5), D(-1; 0; 4); б) A (8; -2; 3), В( 3; -1; 4), С (5; -2; 0), D (7; 0; -2)
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 509 А) Б)
510. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — центр грани ВВ1С1С. Вычислите угол между векторами: а) A1D и АМ; б) MD и ВВ1
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 510 Обозначим ребро куба через а. Тогда вершины куба имеют координаты: А) Б)
511. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ∠BAA1 = ∠BAD =∠DAA1 =60°, АВ =AA1 =AD = 1. Вычислите длины векторов AC1 и BD1
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 511 Найдем длины векторов
512. Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, АС = 8, DB = МО = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) ВС; б) DC; в) АС; г) DB
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 512 А) MN и BC — направляющие векторы прямых MN и BC Косинус угла между прямыми MN и ВС равен 1) Т. к. МО ⊥ плоско Сти АВС). 2) Где ON=BN=NC=2,5, т. к. в прямоугольном треугольнике …
Подробнее…
513. В кубе A1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1, причем ВМ:МВ1=3:2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN:ND = 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) DD1C1C; б) A1B1C1D1
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 513 513. В кубе A1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1, причем ВМ:МВ1=3:2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN:ND = 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) DD1C1C; б) …
Подробнее…
514. Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что ∠AOB = ∠ВОС = ∠СОА = 90°, ∠АОМ = φ1, ∠ВОМ = φ2, ∠COM = φ3. Докажите, что
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 514 (смотри задачу 460) Где φ1, φ2 и φ3 — углы, которые а составляет с осями координат Ox, Oy, Oz. Где х, у, z — координаты a. Тогда, Что и требовалось доказать.
515. Лучи ОА, ОВ и ОС расположены так, что ∠BOC = ∠BOA = 45°, ∠AOC = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 515 Из точки С проведем прямую CF перпендикулярную плоскости АОВ, в плоскости АОВ проведем FA ⊥ ОА, FB ⊥ ОВ. По теореме о трех перпендикулярах: СА ⊥ ОА и СВ ⊥ ОВ. Пусть ОС=а, тогда из …
Подробнее…
516. Дан двугранный угол CABD, равный φ (φ Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 516 СА ⊥ АВ. Из А проведем прямую ОА ⊥ АВ, ∠CAO=φ. Отложим АС=АО; построим отрезок СО, из точки О проведем луч, пересекающий луч AD в точке D, OD || АВ. OD || АВ, а ОА ⊥ АВ, значит, OD ⊥ OA. По теореме о трех перпендикулярах: CO⊥OD. Обозначим AD=а. Тогда в ΔAOD: AO=a sin Θ, OD=a cos Θ. Из ΔOАС по теореме косинусов: В прямоугольном ΔCOD В ΔCAD по теореме косинусов искомый ∠CAD=х; Следовательно, 517. Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120°. Известно, что АВ=m, СА = n, BD = p. Найдите CD
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 517 Через D проведем прямую, параллельно ребру АВ; через точку А проведем прямую, перпендикулярную ребру АВ; эти прямые пересекаются в точке F. Тогда AF ⊥ FD. Проведем отрезок СF и отрезок CD. По теореме о трех …
Подробнее…
518. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α — на плоскость α1. Докажите, что: а) если a||α, то a1||α1; б) если a⊥α, то a1⊥α1
Дополнительные задачи к главе V Метод координат в пространстве → номер 518 518. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α — на плоскость α1. Докажите, что: а) если a||α, то a1||α1; б) если a⊥α, то a1⊥α1. а) по условию а || α, тогда …
Подробнее…