Задачи повышенной трудности → номер 815 815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
815. Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, с
1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.1
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 1 1 Условия заданий приводятся в учебных целях и в необходимом объеме как иллюстративный материал. Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги. (Ст. 19 п. 2 закона РФ об авторском праве и смежных …
Подробнее…
2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объясните
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 2 Можно. Пусть прямые a и b пересекаются в точке C и лежат в плоскости α (аксиома 3). Тогда возьмем точку D вне плоскости α (по аксиоме 1) и рассмотрим прямую CD. Эта прямая и не принадлежит плоскости …
Подробнее…
3. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 3 По аксиоме 2, так как α и β имеют общие точки А, В и С, то плоскости α и β пересекаются по прямой, которая содержит эти точки. Следовательно, А, В, С принадлежат одной прямой. Что и требовалось …
Подробнее…
4. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 4 Допустим плоскости α и β пересекаются по прямой а, а плоскости β и γ — по прямой b, причем прямые а и b пересекаются в точке С. Тогда по аксиоме 2 точка C принадлежит всем трем плоскостям …
Подробнее…
5. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 5 Пусть α и β пересекаются по прямой а. И прямая b содержится в β и пересекает α в точке А. Точка А — общая точка двух плоскостей. Тогда по аксиоме 2 точка А принадлежит а. То есть …
Подробнее…
6. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 6 Если какие-нибудь три точки лежат на одной прямой, тогда через эту прямую и четвертую точку можно провести плоскость (теорема 16.1). В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки не …
Подробнее…
7. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 7 Задача решена в учебнике п. 136 стр. 5.
8. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 8 Через произвольную точку В плоскости β проведем прямую b параллельно прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость α, то параллельная ей прямая b пересекает эту плоскость (если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она …
Подробнее…
9. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия → номер 9 Задача решена в учебнике п. 137 стр. 6.