§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 20 Возьмем произвольный отрезок АВ и рассмотрим преобразование симметрии этого отрезка относительно произвольной плоскости α. Введем декартову систему координат так, чтобы оси x и y лежали в плоскости α. Тогда во введенной системе координат концы отрезка AB имеют …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
20. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение
21. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 21 Возьмем окружность произвольного радиуса: ОА = r. При движении отрезок переходит в отрезок: ОА→О’А’ (радиус передвигаем и образуется круг). Каждая точка окружности перейдет в другую точку (А→А’; О→О’; В→В’). Радиус не изменяется, следовательно, круг переходит в круг …
Подробнее…
22. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 22 Возьмем произвольные три точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Если В лежит между А и С, то АВ + ВС = АС, по определению движения получаем, что А’В’ + В’С’ = А’С’. Это означает, что …
Подробнее…
23. Найдите значения а, b, c в формулах параллельного переноса х’ = х + а, у’ = у + b, z’ = z + c, если при этом параллельном переносе точка А(1;0;2) переходит в точку А'(2;1;0)
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 23 Задача решена в учебнике п. 163 стр. 45.
24. При параллельном переносе точка А(2;1;-1) переходит в точку А'(1;-1;0). В какую точку переходит начало координат?
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 24 Формулы параллельного переноса: Так что начало Координат О(0;0;0) переходит в точку: О'(0 + а; 0 + b; 0 + с) = О'(-1;-2;1).
25. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если: 1) А(2;1;0), В(1;0;1), С(3; -2;1), D(2;-3;0); 2) А(-2;3;5), В(1;2;4), С(4;-3;6), D(7;-2;5); 3) А(0;1;2), В(-1;0;1), С(3;-2;2), D(2;-3;1)
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 25 Если такой параллельный перенос существует, то разности соответствующих координат этих пар точек должны быть равны. То есть Значит, параллельного переноса не существует. Значит параллельного переноса не существует. 1 — 2 = 1 — 2 = -1. Так …
Подробнее…
26. Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 26 Пусть ABCD — данный параллелограмм, а A’, B’, C’, D’ — точки, в которые переходят A, B, C, D. Т. к. при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость (или в себя), то плоскость α’В’С’D’ параллельна …
Подробнее…
27. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 совмещаются параллельным переносом
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 27 Т. к. отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями, равны, то AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = x. Вершины параллелограмма ABCD переходят в вершины параллелограмма A1B1C1D1 по параллельным прямым на одно и то же расстояние …
Подробнее…
28. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 28 Пусть S — центр гомотетии, тогда Так что ΔSAB~ΔSA1В1, значит Аналогично, Где К — коэффициент гомотетии. Следовательно, И по третьему признаку ΔАВС ~А1В1С1, то есть преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия. Что и требовалось доказать.
29. Три прямые, проходящие через точку S, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 29 Имеем AB || A1B1; AC || A1C1; BC || B1C1, т. к. эти прямые лежат в плоскостях SA1B1, SA1C1, SB1C1 соответственно, и в параллельных плоскостях α и β. Так что ∠SAC = ∠SA1C1, ∠SCA = &nag;SC1A1, как …
Подробнее…