§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 41 Пусть АВС — данный треугольник. АС = ВС = а (по условию). Тогда Опустим перпендикуляр BD на плоскость α. Тогда (по условию). Поэтому Так что
Archive for марта, 2013
42. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 42 Пусть даны плоскости α || β и γ пересекает их по прямым АВ и CD соответственно. Тогда АВ || CD (по свойствам параллельных плоскостей). Из рисунка заметим, что углы φ и λ — искомы. Это линейные углы …
Подробнее…
43. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 43 Задача решена в учебнике п. 167 стр. 49.
44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 44 Пусть β и γ пересекаются по прямой CD. A ∈ γ. Проведем Тогда искомый угол АВА1 равен α. Пусть АА1=а, тогда АВ = 2а. Треугольник АВА1 прямоугольный, поэтому Так что α = 30°.
45. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 45 Пусть АВС и АВD данные треугольники. Е — середина АВ (основание). Тогда возможны 2 случая: 1) ∠CED = 60° (так как DE и СЕ — медианы и высоты). Тогда Рассмотрим прямоугольный Далее, по теореме косинусов:
46. Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cosα, если: 1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см; 2) АВ = 32 см, АС = 65 см, AD = 20 см, CD = 63 см
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 46 Как и в предыдущей задаче ∠CED — искомый. 1) АЕ = 1/2 АВ = 12 см (СЕ — медиана). В ΔCED по теореме косинусов:
47. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 47 Пусть АСВ — данный треугольник. Проведем CD ⊥ а, где плоскость α проходит через гипотенузу АВ и образует ∠φ = 30°. Проведем СЕ ⊥ АВ. Тогда ∠CED = ∠φ = 30°. Далее, , с другой стороны: Из …
Подробнее…
48. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 48 Пусть ΔABC — данный, равносторонний. Проведем высоту СЕ, и CD — перпендикуляр к плоскости α. Тогда по теореме о трех перпендикулярах ее проекция ED будет высотой треугольника ADB, угол CED — угол между плоскостями ACD и α, …
Подробнее…
49. 1) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника АВС из задачи 46 на плоскость треугольника ABD. 2) Найдите площадь треугольника ортогональной проекции треугольника АВD из задачи 46 на плоскость треугольника АВС
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 49 1) SABD’ = SABC•cosα, где АВD’ — ортогональная проекция ΔABC на ΔABD. (смотри решение задачи 46). — ортогональная проекция ΔABD на ΔABC. (смотри решение задачи 46).
50. Даны четыре точки А(2;7;-3), В(1;0;3), С(-3;-4;5), D(-2;3;-1). Найдите среди векторов AB^, BC^ , DC^, AD^, AC^ и BD^ равные векторы
§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве → номер 50 Задача решена в учебнике п. 169 стр. 51.