Задачи повышенной трудности → номер 769 Если DD0 — данная высота данного тетраэдра ABCD и AA1 || ВС, то по условию AD0 ⊥ ВС и, следовательно, AD0⊥AA1 (рис. 570). По теореме о трех перпендикулярах AD ⊥ AA1 и, значит, AD ⊥ ВС. Аналогично (D0 — пересечение всех …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней
770. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников ABC и O1АВ, где O1 — проекция точки О на плоскость ABC
Задачи повышенной трудности → номер 770 Так как OO1 ⊥ ABC и АО⊥ОВС, то AOO1 ⊥ ABC и АОО1 ⊥ ОВС; Тогда согласно задаче № 183 Аналогично AC ⊥ BO1 но тогда по теореме о пересечении высот и СО1 ⊥ АВ. Пусть Поскольку То
771. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора)
Задачи повышенной трудности → номер 771 Согласно №770 И Сложив полученные равенства, получим:
772. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
Задачи повышенной трудности → номер 772 Данные точки являются вершинами тетраэдра. Они не могут лежать все по одну сторону от искомой плоскости, тогда как они лежали бы в одной плоскости, параллельной этой плоскости. Аналогично ни одна из них не лежит в искомой плоскости. Поэтому возможны лишь два …
Подробнее…