Archive for марта, 2013

773. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра

  • 24 Мар 2013

Задачи повышенной трудности → номер 773 Пусть α и β — грани двугранного угла, с — его ребро, АВ — данная прямая.

774. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести

  • 24 Мар 2013

Задачи повышенной трудности → номер 774 Если ABCDA1B1C1D1— куб с ребром a, то его сечение ACD1 — правильный треугольник, а любое сечение — параллельное грани — квадрат (рис. 574). Проведем через середину Е ребра АВ плоскость α || ACD1 Она пересечет ВС в некоторой точке F. Так …
Подробнее…

775. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой

  • 24 Мар 2013

Задачи повышенной трудности → номер 775 Пусть A1A2…A8 — данный куб с ребром а, р — прямая, проходящая через его центр О, Так как То Если А х, у — Координаты в системе с осями А1А2 и А1А4, то По теореме косинусов из ΔOPAi имеем Где Причем …
Подробнее…

776. Разбейте куб на шесть равных тетраэдров

  • 24 Мар 2013

Задачи повышенной трудности → номер 776 Куб можно разбить на три четырехгранные пирамиды AC’CDD’, АС’СВВ’, AC’B’A’D’ с общей вершиной А, общим боковым ребром АС и основаниями — гранями куба. Они равны, так как совмещаются поворотами вокруг АС’ на 120° и 240°. Каждую из них можно разбить на …
Подробнее…