Задачи повышенной трудности → номер 765 Данное сечение MNKL данного тетраэдра ABCD — параллелограмм (учебник, стр. 29). Так как ΔABD, ΔBCD, ΔMBN, ΔNDK-равносторонние, то MN = NB и NK = = ND; следовательно, если АВ = а, MN = x, NK = y, тo y = ND …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
765. Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны
766. Докажите, что сумма квадратов двух противоположных ребер тетраэдра вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих соответственно середины остальных противоположных ребер
Задачи повышенной трудности → номер 766 В обозначениях рисунка к задаче 765 по свойству средней линии MN || AD || LK, аналогично ML || NK и MNKL — параллелограмм. Тогда Т. к. То — сумма квадратов диагоналей па- Раллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Если И
767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из
Задачи повышенной трудности → номер 767 767. Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из него указанным способом можно было склеить тетраэдр? …
Подробнее…
768. Найдите множество оснований всех перпендикуляров, проведенных из данной точки А, не лежащей на прямой ВС, к плоскостям, проходящим через эту прямую
Задачи повышенной трудности → номер 768 Пусть плоскость а, проходящая через A перпендикулярно ВС, пересекает ВС в точке D(рис. 569); произвольная плоскость μ, проходящая через ВС, пересекает α по прямой m, ω — окружность без точки А с диаметром AD, лежащая в плоскости α, M∈m∩ω. Так как …
Подробнее…
769. Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней
Задачи повышенной трудности → номер 769 Если DD0 — данная высота данного тетраэдра ABCD и AA1 || ВС, то по условию AD0 ⊥ ВС и, следовательно, AD0⊥AA1 (рис. 570). По теореме о трех перпендикулярах AD ⊥ AA1 и, значит, AD ⊥ ВС. Аналогично (D0 — пересечение всех …
Подробнее…
770. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников ABC и O1АВ, где O1 — проекция точки О на плоскость ABC
Задачи повышенной трудности → номер 770 Так как OO1 ⊥ ABC и АО⊥ОВС, то AOO1 ⊥ ABC и АОО1 ⊥ ОВС; Тогда согласно задаче № 183 Аналогично AC ⊥ BO1 но тогда по теореме о пересечении высот и СО1 ⊥ АВ. Пусть Поскольку То
771. Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора)
Задачи повышенной трудности → номер 771 Согласно №770 И Сложив полученные равенства, получим:
772. Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
Задачи повышенной трудности → номер 772 Данные точки являются вершинами тетраэдра. Они не могут лежать все по одну сторону от искомой плоскости, тогда как они лежали бы в одной плоскости, параллельной этой плоскости. Аналогично ни одна из них не лежит в искомой плоскости. Поэтому возможны лишь два …
Подробнее…
773. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра
Задачи повышенной трудности → номер 773 Пусть α и β — грани двугранного угла, с — его ребро, АВ — данная прямая.
774. Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести
Задачи повышенной трудности → номер 774 Если ABCDA1B1C1D1— куб с ребром a, то его сечение ACD1 — правильный треугольник, а любое сечение — параллельное грани — квадрат (рис. 574). Проведем через середину Е ребра АВ плоскость α || ACD1 Она пересечет ВС в некоторой точке F. Так …
Подробнее…