§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 25 Пусть B — данная точка и α — данная плоскость. Проведем через точку В плоскость β, параллельную плоскости α. Пусть b произвольная прямая, проходящая через точку B, параллельно α. Возьмем в плоскости α произвольную точку А и проведем …
Подробнее…
Archive for марта, 2013
25. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости
26. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 26 Проведем через данную точку А прямые а1 и b1, параллельные данным прямым а и b, (теорема 17.3). Прямые a1 и b1 определяют искомую плоскость α. Эту плоскость можно построить, только, при условии, если точка А не лежит в …
Подробнее…
27. Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD1C1 тоже параллелограмм
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 27 Противолежащие стороны параллелограммов параллельны и равны, поэтому CD = АВ = C1D1 Получаем, что прямые CD и C1D1 параллельны прямой АВ и, следовательно, параллельны между собой (теорема 17.2). Значит четырехугольник CC1D1D это параллелограмм. Что и требовалось доказать.
28. Через вершины параллелограмма ABCD. лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1, D1. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1 тоже параллелограмм
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 28 По свойству параллельных плоскостей и теореме 17.2, получаем что: А1В1 || АВ || CD || C1D1 а также А1D1 || АD || ВС || В1С1. Поэтому A1B1C1D1 — параллелограмм (по определению). Что и требовалось доказать.
29. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1, В1, С1. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 29 По свойству параллельных плоскостей AC||A1C1, BC||B1C1 и AB||A1B1. Также AA1||BB1||CC1. Так что четырехугольники АА1В1В, ВВ1С1С, СС1А1А параллелограммы (их противолежащие стороны попарно параллельны). Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = …
Подробнее…
31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 31 Пусть А — данная точка, ВСDЕ — данный параллелограмм. Рассмотрим плоскости BAC, CAD, DAE, EAB. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей: BC||B1C1, CD||C1D1, ED||E1D1, BE||B1E1. Так что B1C1||BC||ED||E1D1, то есть B1C1||E1D1 и B1E1||BE||CD||C1D1 то есть B1E1||C1D1. …
Подробнее…
32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 32
33. Даны две параллельные плоскости α1 и α2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через т. А проведена произвольная прямая. Пусть Х1
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 33 И Х2 — точки пересечения ее с плоскостями α1 и α2. Докажите, что отношение длины отрезков АХ1 : АХ2 не зависит от взятой прямой. Задача решена в учебнике п. 146 стр. 16.
34. Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, по параллельная плоскости α
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 34 Возьмем в плоскости α произвольную точку Х, построим соответствующую точку Х1 (АХ1 : ХХ1 = m : n) и проведем через точку Х1 плоскость β, по параллельную α. Докажем, что плоскость β — соответствующее геометрическое место точек. 1) …
Подробнее…
35. Даны три параллельные плоскости α1, α2, α3. Пусть Х1, Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х1Х2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых
§ 16. Параллельность прямых и плоскостей → номер 35 Задачи 33 следует, что (из подобия треугольников X2X1Z2 и X3X1Z3). По свойству отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, X1Z2 = Y1Y2 и Z2Z3 = Y2Y3, поэтому Т. е. величина постоянная.